6. Aufgabe :
[ Zusätzliche Operatoren in F0, 8P ] Um Formeln aus ganz F im deduktiven System F0 betrachten zu können, kann man weitere Axiome einführen.
1.
www-madlener.informatik.uni-kl.deExercise 6 :
[ Additional Operators in F0, 8P ] To cope with formulas from the whole set F in the deductive system F0 we can introduce further axioms.
1.
www-madlener.informatik.uni-kl.deZeigen Sie :
Ist F = ( Ax, R ) ein deduktives System mit korrekten Axiomen ( d.h. Tautologien als Axiome ) und korrekten Regeln, so ist F korrekt.
2.
www-madlener.informatik.uni-kl.deProve :
If F = ( Ax, R ) is a deductive system with sound axioms ( i.e. the axioms are tautologies ) and sound rules, then F is sound.
2.
www-madlener.informatik.uni-kl.dePhysikalische Überlegungen spielen eine wesentliche Rolle um die Axiome zu motivieren und die Resultate zu interpretieren.
Der Schwerpunkt dieses Projekts liegt auf der Analyse der Wechselwirkungen zwischen verschiedenen Mengen von Axiomen aus mathematischer Sicht.
Eine Einführung in die Concurrency-Theorie und insbesondere in den historischen, philosophischen und physikalischen Hintergrund ist in Geschichte und Entwicklung der Concurrency Theorie von Hartmut Müller zu finden.
www.informatik.uni-hamburg.dePhysical considerations play a major role for the motivation of axioms and interpretation of results.
The emphasis of this project is put on the analysis of interactions between different sets of axioms from a mathematical point of view.
An introduction to concurrency theory and in particular to the historical, philosophical and physical background is given by Hartmut Müller in Geschichte und Entwicklung der Concurrency Theorie.
www.informatik.uni-hamburg.deGeben Sie Axiome an, die die booleschen Operatoren charakterisieren.
D.h. sind zwei Terme t1 und t2 äquivalent im Sinne der Aussagenlogik und erfüllt eine Interpretation I Ihre Axiome, dann soll I ( t1 ) = I ( t2 ) gelten.
3.
www-madlener.informatik.uni-kl.deFind Axioms that characterise the boolean operators.
I.e. if two terms t1 and t2 are equivalent in propositional logic and if an interpretation I satisfies your axioms, then I ( t1 ) = I ( t2 ) must hold.
3.
www-madlener.informatik.uni-kl.deStärke und Universalität der Axiome erlauben die Formalisierung von formalen Sprachen und Beweisen innerhalb der Theorie ; die so ermöglichte Nachbildung des Lügner-Paradoxons ( dieser Satz ist falsch ) innerhalb der Mengenlehre ergibt aber einen in der Mengenlehre nicht entscheidbaren Satz ( Gödelscher Unvollständigkeitssatz ).
Weitere Untersuchungen haben gezeigt, dass auch einfache kombinatorische Eigenschaften unendlicher Mengen wie die Frage wieviele reelle Zahlen gibt es? von den Zermelo-Fraenkelschen Axiomen nicht entschieden werden.
Ähnlich wie in der Geometrie wird die Unentscheidbarkeit einer Aussage A durch die Angabe verschiedener Modelle der Axiome gezeigt, in denen einmal A und einmal ¬ A gilt.
www.math.uni-bonn.deThis allows to imitate the liar paradox “ this sentence is false ” and leads to a statement which cannot be decided inside set theory ( Gödel incompleteness theorem ).
Further research has shown that some simple properties of infinite sets like “ how many real numbers are there ” are not decided by the Zermelo-Fraenkel axioms.
The undecidability of a statement A can be demonstrated, just like in the foundations of geometry, by exhibiting different models of the axioms, in which A holds in one model and ¬ A in another.
www.math.uni-bonn.deTatsächlich war er auf eine kurze Abhandlung ( aus dem Jahr 1763 ) des Mathematikers Georg Simon Klügel ( 1739-1812 ) gestoßen, in der eine Reihe von Versuchen, das Parallelenpostulat zu beweisen, im Detail beschrieben wurden.
Das Thema faszinierte Lambert und er begann, es eingehender zu untersuchen, was ihn schließlich zu seinem eigenen Versuch eines Beweises für das berühmte Axiom führte.
Seine Theorie der Parallellinien wurde (vermutlich) im folgenden September (1766) geschrieben, aber sie wurde zu einem unverkennbaren Fehlschlag.
www.mpiwg-berlin.mpg.deHe stumbled, in fact, on a short essay ( from 1763 ) by the mathematician Georg Simon Klügel ( 1739-1812 ), in which a number of attempts to prove the Parallel Postulate were described in detail.
Lambert became fascinated by the topic and began to study the matter more deeply, eventually giving rise to his own attempt at a demonstration of the famous axiom.
His Theorie der Parallellinien was (presumably) penned the following September (1766) but ended in unmistakable failure.
www.mpiwg-berlin.mpg.deDamit wird mir nicht nur die Ähnlichkeit mit der Geschichte von Nils Holgerson bewusst, sondern auch meine augenblickliche Situation, in einem Traumgeschehen zu sein.
Mir ist klar, dass all die Gegner des Axioms der Multidimensionalität in diesem Augenblick wieder mal von Kryptomnesie sprechen werden.
Mich kümmert - wie stets in solchen Momenten - dieser mögliche Einwand herzlich wenig.
www.oobe.chThe dream is lucid, I am conscious !
I think, that all the opponents of the axiom of the multi-dimensionality will speak in this moment of Kryptomnesia again.
This is a possible objection, but it doesn't bother me - like always in such lucid moments.
www.oobe.chSein Versuch, das Parallelenpostulat mit rein mathematischen Argumenten zu beweisen, war wahrscheinlich auch ein Versuch, seine philosophische Bedeutung zu entschärfen.
Als er daran scheiterte, und sich klarmachte, was daraus für Folgerungen zu ziehen waren, wurde ihm bewusst, dass es schlicht unmöglich für ihn war, das Euklidische Axiom als ein Prinzip über gerade Linien anzusehen:
es hatte sich für ihn als Aussage über Transformationen und die Struktur des Raumes enthüllt und er konnte nicht länger „Ausdehnung“ als formlosen Hintergrund verstehen, oder als „einfache Idee“, ohne jeden geometrischen Inhalt.
www.mpiwg-berlin.mpg.deHis attempt to demonstrate the Parallel Postulate with purely mathematical arguments was probably also an attempt to defuse its philosophical significance.
When he failed, and realized the implications of his failure, he became well aware that it was simply impossible for him to regard the Euclidean axiom as a principle about straight lines:
it had revealed itself to him as something about the structure of space and transformations, and he could not anymore regard “extension” as a shapeless background field, or a “simple idea” devoid of geometrical content.
www.mpiwg-berlin.mpg.deMusterbeispiel einer mathematischen Theorie ist noch heute die Geometrie in den Büchern des Euklid :
Nach der Setzung von Axiomen, Postulaten und Definitionen werden die geometrischen Sätze systematisch und logisch bewiesen. Der Satz des Phythagoras ist im Euklidischen System wahr, unabhängig davon, ob der physikalische Raum das Parallelenaxiom erfüllt.
www.math.uni-bonn.deThis method guarantees the universal applicability of mathematical results : whenever a mathematical statement can be mapped into the physical reality then it holds true.
Euclid s geometry is still the paradigm of a mathematical theory: after the introduction of axioms, postulates, and definitions the geometrical theorems are proved systematically by logical deductions.
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